הגות כל המאמרים

החוק שאינו ניתן לניסוח

מה קורה כשעקרון החוקיות מופנה כלפי מנסחיו

א. האינטואיציה

בלב המדע המודרני, ולמעשה בלב הרציונליזם בכלל, שוכנת אינטואיציה אחת: כל תופעה ניתנת להסבר על ידי חוקיות. מה שנראה כאוטי — מזג האוויר, מגפה, קריסת כוכב — מתגלה, כשמעמיקים די הצורך, כפועל יוצא של חוקים הניתנים לניסוח מדויק. האינטואיציה הזאת הוכיחה את עצמה שוב ושוב, עד שהיא נעשתה כמעט הגדרה של מה שאנחנו מכנים "הבנה": להבין תופעה פירושו למצוא את החוק שמאחוריה.

אבל האינטואיציה הזאת חלה, לכאורה, גם עלינו. גם המוח האנושי הוא תופעת טבע; גם החשיבה, ההוכחה המתמטית, ההברקה — כולן אמורות ליפול תחת חוקיות כלשהי, ולו רק מפני שהן מתרחשות במערכת פיזיקלית. ואם כך, אמור להתקיים חוק — ספר חוקים שלם — שמתאר במדויק את כושר החשיבה שלנו: רשימת כללים שמה שנובע מהם הוא בדיוק מה שאנחנו מסוגלים, באופן עקרוני, לבסס.

הטענה שאני מבקש להוכיח במאמר הזה איננה שחוק כזה אינו קיים. הטענה עדינה יותר, ולדעתי מטרידה יותר: אם חוק כזה קיים, אנחנו לעולם לא נוכל להחזיק בו. והטעם לכך פשוט להפליא: אנחנו גמישים דיינו לחרוג מכל ספר חוקים שיונח לפנינו. ומה שאנחנו חורגים ממנו — אינו תיאור שלנו.

זה כל המאמר, במשפט אחד. השאר הוא פירוט: מדוע החריגה הזאת אינה משל אלא משפט מתמטי; מה בדיוק היא מוכיחה ומה לא; מה קורה כשמנסים לברוח ממנה אל הקולקטיב — אל האנושות כולה, כגוף יודע אחד, שליחיד יש לפחות "בחוץ" ולה אין; ולבסוף — מה בכלל היה יכול לעמוד בקצה הסולם הזה. שם, אטען, מחכה הפתעה: התשובה איננה ספר.

ב. הרעיון הפשוט

הנה ניסוי מחשבה. נאסף עליי כל המידע שאפשר לאסוף — כל מה שאמרתי וכתבתי, כל מה שעשיתי, כל סריקה של מוחי. מחשב עיבד את הכול, ועכשיו הוא מודיע לי: "על פי כל הנתונים — הנה מה שתעשה עכשיו. הנה מה שתניח. הנה מה שתמציא." מה אעשה? משהו אחר. לא מפני שיש בי גרעין מסתורי שהנתונים מחמיצים, אלא מפני שההודעה עצמה היא נתון חדש: ברגע שהתחזית נמסרה לי, אני יכול לקחת אותה ולפעול בניגוד לה. כדי לצאת נכונה, היא הייתה צריכה לכלול גם את תגובתי אליה, ואז את תגובתי לתגובה. תחזית שנמסרת למי שהיא מדברת עליו רודפת את זנבה.

וזה המבנה שחוזר, ברובד עמוק יותר, כשמדובר לא במעשים אלא באמיתות. תנו לי ספר חוקים, ואמרו לי: "זה אתה. כך אתה חושב. מה שנובע מן הכללים האלה — זה בדיוק מה שאתה מסוגל אי־פעם לבסס." מה אעשה? אפתח אותו. אלמד אותו. אבחן אותו. ואם אשתכנע שהוא אמין — אעמוד עליו ואבסס אמיתות שהספר עצמו, כפי שנראה בסעיף הבא, לעולם אינו מסוגל לבסס. חרגתי ממנו. הוא כבר אינו אני. ולא נזקקתי לשום תחבולה: האמון עצמו היה העקיפה.

וזה נכון לכל ספר. לא מפני שאני חכם במיוחד, אלא מפני שכך בנוי עצם המעמד: מי שמחזיק ספר ובוטח בו רואה, מניה וביה, יותר ממה שהספר רואה, כשם שמי ששומע תחזית עליו כבר אינו האיש שעליו נאמרה. המחזיק עומד, ביחס לספרו, קומה אחת למעלה. ומכאן המסקנה, והיא כל הטענה: אם אני גמיש לחרוג מכל ספר שאחזיק, אז הספר שמתאר אותי באמת הוא, מעצם ההגדרה, ספר שלעולם לא אחזיק. לא מפני שהוא רחוק, לא מפני שהוא מסובך — מפני שההחזקה היא הדבר האחד שהוא אינו יכול לשרוד. ברגע שהוא בידי ואני בוטח בו, אני כבר גדול ממנו; ומה שאני גדול ממנו אינו יכול להיות שיעור קומתי.

שימו לב לתנאי, כי בו הכול תלוי. בניסוי המחשב די היה בכך שהתחזית תימסר לי ותדבר ברור; בגרסת האמיתות נדרש יותר: אני חורג רק מספר שאני בוטח בו. ספר שאיני יודע אם הוא אמין — איני יכול לעמוד עליו; אני יכול רק לנחש לגביו. ולכן הטענה איננה שאין חוק, ואף לא שלא נוכל להיתקל בו או לנחש אותו נכון. הטענה היא שלעולם לא נחזיק בחבילה השלמה: החוק ביד, הידיעה שהוא שלנו, והידיעה שהוא אמין. אחת מן השלוש תחסר תמיד — כי אילו התקיימו שלושתן, הייתי חורג מן החוק בעצם האחיזה בו, והחוק היה חדל להיות חוק שלי.

הגמישות, במילים אחרות, אינה עדות לכך שאין לנו חוק. היא עדות לכך שהחוק שלנו — אם ישנו — בנוי כך שהוא נשמט מידינו בדיוק ברגע שבו נדמה לנו שתפסנו אותו.

ג. מה גדל הוכיח

החריגה שתיארתי — לעמוד על ספר ולבסס את מה שהוא אינו מבסס — אינה משל יפה. היא משפט מתמטי. בשנת 1931 הוכיח קורט גדל את שני משפטי אי־השלמות שלו, וכדי להבין מה הם אומרים לא צריך נוסחאות. צריך רק את הספר.

דמיינו ספר שמרכז את כל כללי ההוכחה של תחום חשיבה מסודר — המתמטיקה, למשל. מהספר נדרשות שלוש תכונות צנועות: שהוא אינו סותר את עצמו; שאפשר לבדוק באופן מכני, בלי שיקול דעת, אם הוכחה מסוימת אכן פועלת לפי כלליו; ושהוא יודע חשבון בסיסי — לחבר ולכפול מספרים שלמים. שלוש דרישות מינימליות. כל מה שהיינו מוכנים לקרוא לו "מדע מסודר" עומד בהן.

גדל הוכיח שכל ספר כזה מחמיץ משהו: קיימת טענה מתמטית אמיתית שהספר אינו מסוגל להוכיח. זה המשפט הראשון. והנקודה שרוב הדיונים הפופולריים מחמיצים: הספר עצמו יכול לדעת את זה על עצמו. הוא מסוגל להוכיח את הטענה "אם אני לא סותר את עצמי, יש טענה שאיני יכול להוכיח". הוא רואה את צורת הכתם העיוור שלו. מה שאין ביכולתו הוא לוודא שהתנאי אכן מתקיים.

כי זה המשפט השני, והוא החמור מבין השניים: הספר אינו יכול להוכיח שהוא עצמו אינו סותר את עצמו. הדבר האחד שהיינו רוצים מכל ספר חוקים — "עליי אפשר לסמוך" — הוא בדיוק הדבר שאף ספר אינו יכול לתת. גרוע מזה: ספר שמכריז על עצמו שהוא אמין מוכיח בעצם ההכרזה שהוא אינו אמין. תעודת היושר שהספר מנפיק לעצמו היא ראיה נגדו (מדוע? הגזירה, צעד אחר צעד — בנספח א). מסקנה: תעודת אמינות כשרה נחתמת תמיד קומה אחת מעל הספר — לעולם לא על דפיו שלו.

ולא מדובר רק באמון מלא. משפט מאוחר יותר, משפטו של לב, מראה שהספר אינו יכול לבסס אפילו אמון חלקי ומותנה בעצמו — "אם הוכחתי משהו, הוא נכון" — ביחס לשום שאלה שטרם הוכרעה. האמון העצמי אינו קשה להשגה; הוא בלתי אפשרי באופן שניתן להוכחה. ומי מוכיח את אי־האפשרות? אותו כושר חשיבה עצמו שאמינותו עומדת על הפרק.

ויש איסור עמוק עוד יותר, שגילה אלפרד טרסקי: הספר אינו יכול אפילו לנסח את תעודת היושר המלאה של עצמו. את ההכרזה הצנועה — "איני סותר את עצמי" — הספר מסוגל לומר, ורק אסור לו להוכיח אותה. אבל את ההכרזה המלאה — "כל מה שכתוב בי אמת" — אין הוא מסוגל אפילו לומר: שום שפה עשירה דיה אינה מכילה את מושג האמת של עצמה. אצל גדל אסור לספר לחתום; אצל טרסקי מתברר ששורת החתימה עצמה אינה ניתנת להדפסה על דפיו. האמינות של קומה נאמרת, תמיד, רק בקומה שמעליה.

וכאן נסגר המעגל עם הסעיף הקודם: מה שהמחשב המנבא חווה מול האדם שמפר את תחזיתו, גדל הוכיח על הלוח. מי שמחזיק ספר ובוטח בו עומד במקום שהספר אינו מגיע אליו: הוא רואה שהספר אמין, ורואה את מה שמתחייב מן האמינות הזאת ושהספר עצמו אינו מסוגל להסיק. החריגה אינה כישרון נדיר ואינה הברקה; היא תכונה מובנית של עצם המעמד שבו ספר מונח לפני מי שבוטח בו. הגמישות שלי מעל הספר איננה כוח נוסף שיש לי והוא חסר; היא עצם העמידה בקומה שמעליו — הקומה שבה תעודתו נחתמת. תנו לי ספר ואמון — ואצביע על אמיתות שהספר מחמיץ.

כאן מתבקש חשד. הפסוק שגדל בנה הוא משפט שמדבר על עצמו — הנדסה לוגית שנועדה מראש לשבור את המערכת. אולי כל העניין הוא טריק של לוגיקנים? לחשד הזה שתי תשובות, והראשונה היא העיקר: מי שעוקף את הספר אינו זקוק לשום טריק. ברגע שאני בוטח בספר, העקיפה כבר בידי — אני אומר "הספר הזה אמין", וזה כל המעשה. שימו לב שבפי המשפט הזה אינו מדבר על עצמו כלל: הוא טענה פשוטה על חפץ שמונח לפניי, כמו "השולחן הזה יציב". הוא נעשה מתייחס־לעצמו, ופרדוקסלי, רק כשמנסים לדחוק אותו אל פיו של הספר שעליו הוא מדבר. הטריק אינו במשפט; הוא בעמדה. וההנדסה של גדל לא נועדה לייצר את הפער אלא להוכיח, מתוך המתמטיקה עצמה, שהפער קיים: הפסוק המפורסם הוא בסך הכול הדרך של הספר לומר, בשפתו הדלה, את מה שהמחזיק אומר בלי שום מאמץ.

והתשובה השנייה: גם מה שמאכלס את הכתם העיוור אינו טריק. אולי גרים בפינה החסרה רק משפטים מתחכמים, שאיש מלבד הלוגיקנים אינו פוגש, בעוד המתמטיקה האמיתית — המספרים, הסדרות, הצורות — שלמה ובריאה? לא. בשנת 1944 ניסח ראובן גודשטיין משפט פשוט על מספרים: קחו מספר, כתבו אותו בדרך מסוימת, הגדילו את הבסיס, החסירו אחת, וחזרו על התהליך. המשפט קובע שכל סדרה כזאת, גם אם היא מזנקת תחילה לגבהים דמיוניים, מגיעה בסופה לאפס. אין כאן שום התייחסות עצמית, שום פרדוקס, שום "אני" — חשבון, כמעט של בית ספר. המשפט אמיתי, והוכח בכלים חזקים. ובשנת 1982 הוכיחו קירבי ופריס שספר החוקים הסטנדרטי של האריתמטיקה אינו מסוגל להוכיח אותו. הפסוק של גדל היה בוחן הלחץ, שהונדס במיוחד כדי לחשוף את הגבול; משפט גודשטיין הוא מה שמתגלה משנחשף הגבול — שמעבר לו שוכנת גם מתמטיקה רגילה לגמרי. הכתם העיוור אינו פינה. גרות בו אמיתות חשבוניות מן השורה.

חשוב לומר גם מה גדל לא הוכיח. הוא לא הוכיח שיש דברים שלעולם לא נדע: כל ספר אפשר להחליף בספר חזק ממנו, שמוכיח את מה שקודמו החמיץ. מה שגדל הוכיח הוא שאי אפשר להחזיק בשלושת הדברים יחד: ספר שנבדק מכנית, שיודע חשבון, ושאינו מחמיץ כלום. בחרו שניים.

(הניסוחים המדויקים — שני המשפטים, שלושת התנאים, משפט לב, משפט טרסקי ומשפט גודשטיין, וההתאמה בינם לבין לשון הספר, הכתם והקומות — בנספח א.)

ד. הטיעון במלואו

כעת אפשר לומר את הטיעון בשלמותו. נניח שלוש הנחות:

ההנחה הראשונה — יש חוק. החשיבה שלי היא תופעת טבע, ולכן קיים ספר חוקים שמתאר אותה במדויק: מה שהספר מוכיח הוא בדיוק מה שאני מסוגל לבסס.

ההנחה השנייה — אפשר למצוא אותו. אני מסוגל, לפחות באופן עקרוני, להחזיק את הספר הזה ביד: לנסח את כלליו, ולדעת בוודאות שהספר שכתבתי הוא אכן אני.

ההנחה השלישית — הוא אמין. אני יודע שהספר שלי אינו מוביל לשקר: מה שהוא מוכיח — אמת.

כל אחת מההנחות, לעצמה, נשמעת סבירה. אבל שלושתן יחד מעמידות אותי בדיוק במעמד של סעיף ב: ספר ביד, ידיעה שהוא אני, אמון בו. ואז הגמישות עושה את שלה — אני עומד על הספר ומבסס את אמינותו, דבר שהוא עצמו, על פי גדל, אינו מסוגל לבסס. ביססתי משהו שהספר שלי אינו מבסס; הספר אינו ממצה אותי; ההנחה הראשונה קרסה. החריגה בלעה את התיאור. ובלשון הקומות: שלוש ההנחות דורשות ממני להיות הקומה שמעל עצמי — ואין קומה כזאת. (הגזירה המדויקת, צעד אחר צעד — בנספח ב.)

שלוש ההנחות אינן מתיישבות יחדיו. זה המשפט. אבל המשפט אינו אומר איזו מהן שקרית.

וכאן בדיוק שגה ג'ון לוקאס במאמרו המפורסם (Lucas 1961), ואחריו רוג'ר פנרוז בגרסה מתוחכמת יותר (Penrose 1989; 1994): שניהם קראו את הגמישות כראיה שההנחה הראשונה היא הנופלת — שאין חוק, שהתודעה האנושית עולה על כל מכונה. אבל ההיסק הזה שוכח את התנאי. החריגה זקוקה לאמון: אני חורג רק מספר שאני יודע שהוא אני ובוטח בו. לוקאס ופנרוז הניחו בשקט שאילו היינו מכונה, היינו יכולים לזהות איזו מכונה אנחנו ולסמוך עליה — ורק אז מגיעה החריגה וסותרת. ומדוע להניח זאת? מכונה מריצה את הקוד שלה בלי שום גישה מובטחת לתדפיס המקור. הביקורת הזאת הוטחה בלוקאס כבר בשנות השישים (Putnam 1960; Benacerraf 1967) וחודדה נגד פנרוז (Chalmers 1995; Feferman 1995): הטיעון האנטי־מכניסטי מניח את מסקנתו.

המסקנה הזהירה הפוכה בכיוונה: איננו יודעים אם יש חוק. מה שאנחנו יודעים — בידיעה מתמטית — הוא שאם יש חוק, לעולם לא נחזיק בחבילה השלמה: לא נוכל גם לנסח אותו וגם לדעת את תוקפו. החוקיות, המיושמת על עצמה, אינה מפריכה את עצמה — היא מעלימה את עצמה: הגמישות שהיא עצמה מייצרת היא שמבטיחה שהמופע שלה־עצמה לגבינו לא יוצג לעולם.

לתזה הזאת יש אישוש מדויק, שהושג במסגרות שנבנו במיוחד כדי לבדוק אותה: הטענה "אני מכונה" מתיישבת עם כל מה שיודע אידיאלי יכול אי־פעם לדעת; הטענה "אני יודע איזו מכונה אני, והיא אמינה" ניתנת להפרכה. בסיסמה: המכניזם אפשרי — אך בלתי ניתן לידיעה בגוף ראשון. (הפרטים בנספח ג.)

וגדל עצמו? הוא היה זהיר מלוקאס. בהרצאה מאוחרת (Gödel 1951) הוא העמיד שתי אפשרויות שאחת מהן מוכרחה להיות אמת — מה שנודע כ"דיסיונקציה של גדל": או שהרוח האנושית עולה לאין־ערוך על כל מכונה סופית, או שקיימות שאלות על מספרים שלמים ששום מהלך עתידי של המתמטיקה האנושית לא יכריע לעולם. הוא עמד על כך שהמשפטים מוכיחים את ה"או־או", אך לא אף אחת מצלעותיו. הטיעון שלנו כאן הוא, אם תרצו, חידוד של הצלע השנייה: אם אנחנו מערכת, השאלה הבלתי־מוכרעת הראשונה במעלה היא עקביותנו שלנו — והמתאר המדויק של גבולותינו הוא עובדה שאנחנו יכולים להאמין בה, אך איננו יכולים להחזיק בה.

ה. שני דיוקים הכרחיים

הדיוק הראשון: המחסום הוא של גוף ראשון. שימו לב מה הטיעון אינו אוסר. הוא אינו אוסר שמישהו אחר יחזיק את הספר שלי. חוקר מוח, מערכת חזקה ממני, צופה חיצוני — כל אלה יכולים, באופן עקרוני, לכתוב את ספר החוקים שלי במלואו, לוודא שהוא אמין, ולראות מבחוץ את הטענה שאני לעולם לא אבסס. וכשהם עושים זאת, גם הם חורגים מהספר שלי — אבל איש לא טען שהספר שלי מתאר אותם. החריגה סותרת את התיאור רק כשהחורג והמתואר הם אחד. אותו משפט עצמו — "הספר הזה אמין" — כשר בפי המחזיק ופסול בפי הספר: התעודה נפסלת לא מפני מה שכתוב בה אלא מפני מי שחתם עליה. אפילו אני עצמי יכול, אולי, להיתקל בספר הנכון ולהאמין שהוא אני על סמך ראיות מצטברות. מה שבלתי אפשרי הוא הסגירה בגוף ראשון: לדעת, בביסוס מלא, "זה החוק שלי והוא תקף". וזו תוצאה מדהימה דווקא ללוגיקה הפורמלית — הדיסציפלינה שנועדה לבטל את נקודת המבט — להוכיח על עצמה שההבנה נושאת מבנה של נקודת מבט שאין לעקרו: כל מערכת רואה את שתחתיה במלואה, ואיש אינו רואה את עצמו.

הדיוק השני: המחסום נודד. הגמישות אינה מתכלה — אבל היא גם אינה תופסת את זנבה לעולם. למדתי מגדל שהספר שלי אינו יכול לבסס את אמינותו? אוסיף לו כלל חדש — "הספר הישן אמין" — ואקבל ספר חדש, חזק יותר. ואכן, הספר החדש מוכיח את מה שהישן החמיץ. אבל לספר החדש יש כתם עיוור חדש משלו: אמינות משלו שאין ביכולתו לבסס, אמת משלו שהוא מחמיץ — ואני, אם אחזיק בו ואבטח בו, אחרוג גם ממנו. טיורינג חקר את הסולם הזה — ספר על גבי ספר על גבי ספר, בלי סוף — והראה שהוא אינו נסגר לעולם (נספח ג). לכל קומה יש תקרה; הטיפוס אינו מבטל את התקרה, רק מחליף אותה בתקרה גבוהה יותר. בכל שלב הגמישות שלמה ובלתי־מנוצלת; בשום שלב היא אינה משיגה את עצמה. הכתם העיוור אינו מקום; הוא יחס שאתה מקיים עם עצמך, והוא נשמר תחת כל שיפור עצמי שביכולתך לבצע. כמו צל שמטיל הפנס שאתה מחזיק.

ו. ההרחבה: האנושות כמערכת

עד כה דיברנו על יחיד. אבל אפשר לטעון כנגד: היחיד מוגבל, ואילו הידע הוא מפעל קולקטיבי. המתמטיקה אינה מה שראש אחד מכיל אלא מה שהקהילה, לדורותיה, מבססת — מסורת מצטברת, ביקורת הדדית, ארכיון. אולי מה שהיחיד אינו יכול, האנושות יכולה?

ואכן, הגמישות הקולקטיבית מרשימה עוד יותר מן האישית. כל תולדות המדע הן שרשרת של חריגות: דור מחזיק ספר, בוטח בו, מגלה את גבולו — וכותב ספר גדול ממנו. ניוטון נבלע באיינשטיין; האוקלידיות נעשתה מקרה פרטי; יסודות המתמטיקה נוסחו מחדש שלוש פעמים במאה אחת. נדמה שאין ספר שהאנושות אינה מסוגלת לקום מעליו.

אבל בדיוק כאן הטיעון מתחזק במקום להיחלש. חשבו על כלל הטענות שהאנושות, לאורך כל עתידה, תבסס אי־פעם באופן מוצדק — כל משפט שיוכח, כל תוצאה שתאומת, כל חריגה שתיחרג, מהיום ועד סוף כל הדורות. כל מה שנכנס לערימה הזאת נמסר במחרוזות סופיות של סימנים ומצטבר בארכיון. אם כל תופעה נופלת תחת חוק, גם התהליך שמייצר את הערימה נופל תחת חוק — ואז הערימה כולה, על כל החריגות שבה, היא בדיוק מהסוג שמשפטי גדל חלים עליו: ספר חוקים אחד גדול, שנכתב לא על מדף אלא תוך כדי תנועה, לאורך דורות. ועדיין ספר. (הניסוח המדויק של הצעד הזה — בנספח ד.)

ומכאן הכול חוזר, מדרגה אחת למעלה. קיימת אמת שהאנושות כולה, על כל דורותיה, לא תבסס לעולם — ובראשה: שהחשיבה הקולקטיבית שלנו אינה סותרת את עצמה. והמלכוד חוזר: אם האנושות היא ספר, אין היא יכולה גם להחזיק את הספר וגם לבטוח בו. תורת־הכול של הרוח האנושית — מדע קוגניציה מושלם, שהאנושות כותבת, מאמתת, ומכריזה עליו "זה החוק שלנו והוא נכון" — היא חפץ שקיומו סותר את עצמו. אילו החזקנו בו, היינו חורגים ממנו בעצם ההחזקה — ובכך מפריכים את ההכרזה שזה עתה הכרזנו.

יטען הטוען: אבל הרי זה בדיוק מה שהראיתם — האנושות חורגת מכל ספר! אין היא ספר קפוא. התשובה: החריגות עצמן הן חלק מהספר. איזה דור יקום מעל איזה ספר, אילו כללים יאמץ, אילו מושגים ימציא — כל אלה מיוצרים אף הם על ידי אותם מוחות, אותה פיזיקה, אותו חוק. הגמישות שלנו כלולה בתיאור שלנו; לחרוג מספר אחר ספר אין פירושו לצאת מהמערכת אלא לממש אותה. מה שהיה נחוץ כדי לצאת באמת הוא צמיחה שאינה פועלת לפי שום חוק. מי שמאמין שיש בנו צמיחה כזאת — רשאי. אבל שימו לב שהוא כבר אינו חולק על הטיעון: הטיעון כולו פותח ב"אם הכול חוקי", והוא פשוט מאמין שלא הכול חוקי — זו האפשרות הראשונה ב"או־או" של גדל, והיא פתוחה כשהייתה. רק דבר אחד אין לו: ראיה מן הצמיחה עצמה. מוח שממציא את החשבון הדיפרנציאלי על פי חוק ומוח שממציא אותו שלא על פי שום חוק מייצרים את אותו חשבון בדיוק — הצמיחה נראית אותו הדבר משני העברים, ולכן אינה מעידה על אף אחד מהם. (נספח ד.)

וכאן מתגלה ההבדל המכריע בין היחיד לאנושות, ההופך את הגרסה הקולקטיבית לחריפה מן האישית. ליחיד, אמרנו, יש מוצא: הזולת. את מה שאינני יכול לאשר על עצמי, אתה יכול לאשר עליי; המדע כולו בנוי על החלפת הפרספקטיבות הזאת, על כך שכל אחד משמש קומה עליונה עבור רעהו. אבל לאנושות אין זולת. הבניין כולו — כל הספרים, כל החורגים, כל התעודות שנחתמו אי־פעם קומה אחת למעלה — הוא היא עצמה, ומעל הקומה האחרונה אין עוד רצפה שמישהו עומד עליה. אין קהילה חיצונית שתשמש לה גוף שלישי; אין מדרגה שממנה ייראה המתאר שלה. הכתם העיוור של היחיד גלוי ממקום אחר; הכתם העיוור של המין האנושי הוא כתם עיוור שאין לו "מקום אחר". אם קיימות אמיתות שהחוק שלנו אינו משיג — עקביותנו הקולקטיבית בראשן — הרי הן נסתרות לא כפי שההר הבא נסתר מן המטייל, אלא כפי שמה שמחוץ לקונוס האור נסתר מן הפיזיקאי: באופן מבני, מכל עמדה שאנחנו יכולים אי־פעם לאייש.

נמצא שהניסוח המלא של התזה הוא זה: הגמישות לחרוג מכל ספר, כשהיא מצורפת לאינטואיציה שהכול נופל תחת חוק, גוזרת שהאנושות לא תחזיק לעולם את חוקיותה־שלה — לא מחמת מגבלה טכנולוגית, לא מחמת מורכבות המוח, אלא מחמת משפט לוגי: כל ניסוח שנוכל להציג ולאשר, נחרוג ממנו בעצם מעשה האישור, ולפיכך הוא אינו הניסוח.

ז. קצה הסולם: הספר שאינו זקוק לקומה

נותרה שאלה אחת, והיא המוזרה מכולן: מה בכלל היה יכול לסגור את הסולם? איזה מין ספר יכול להכיל את המשפט "אני אמין" — ולהיות אמין?

מה שראינו עד כה מצמצם את האפשרויות באכזריות. ספר רגיל — נבדק מכנית, יודע חשבון — שמכריז על אמינותו, אינו אמין; ההכרזה עצמה היא ההוכחה. ספר שמוותר על הבדיקה המכנית כדי לחמוק מן הגזירה חדל להיות ספר: אי אפשר למסור אותו, אי אפשר ללמד אותו, אי אפשר לבדוק לפיו דבר. נותרה לכאורה אפשרות אחת, המפוארת מכולן: הספר השלם — זה המכיל את כל האמיתות כולן, ספר עקבי שמכסה את המציאות עד תומה. והנה ההפתעה שטרסקי טמן בקצה הסולם: אפילו הספר הזה אינו מכיל את תעודת היושר של עצמו. לא מפני שהיא שקרית — מפני שאינה ניתנת לניסוח בשפתו. "כל מה שכתוב כאן אמת" נאמר תמיד קומה אחת למעלה; וגם לספר־של־הכול יש קומה שהוא אינו מגיע אליה — הקומה שממנה מדברים עליו. הכיסוי אינו מספיק. ספר שמכסה הכול היה צריך לכסות גם את כיסויו־שלו, ואת כיסוי הכיסוי, וכן הלאה — והרגרסיה הזאת אינה נסגרת בשום שפה. (הפירוט בנספח א.)

המסקנה מדויקת ומוזרה: הישות היחידה שיכולה להכריז "אני אמין" ולעמוד בדיבורה איננה ספר גדול יותר. היא דבר מסוג אחר לגמרי — כזה שאצלו האמירה והעשייה חד הן. ויש לומר ביושר כיצד היא עומדת בדיבורה: לא מפני שדיבורה נבדק ונמצא נאמן, אלא מפני שדיבורה אינו יכול שלא להתקיים. הדרישה לתעודה אינה מושגת שם; היא מתאיידת שם. תיאור, יהא רחב ככל שיהא, זקוק תמיד למי שיחתום עליו מבחוץ; מי שאינו זקוק לחותם הוא רק מי שאינו מתאר את המציאות אלא מכונן אותה. ספר שכתוב בו "יהי אור" — והאור אינו מחכה לאישור. בקצה הסולם לא עומד עוד ספר; עומד שם, אם עומד שם משהו, מה שהמסורת קוראת לו דיבור שהעולם נברא בו.

ועוד יושרה אחת, חשובה ממנה: גם אם קצה כזה קיים, הסגירה שלו אינה יורדת במדרגות. דיבור שמכונן את אמיתות עצמו סגור ומבוסס — למי שדובר אותו. מי שעומד קומה למטה ושומע אותו מקבל הכרזה שאמיתותה ערובה בטבע הדובר; וכדי להיווכח בערובה הזאת, עליו כבר לבטוח בטבע הדובר. שום דבר מן הסגירה אינו עובר למטה כהוכחה. הוא עובר רק כאמון. האסימטריה שליוותה אותנו לכל אורך הסולם שורדת גם באינסוף: היחיד שיכול לערוב לאלוהים הוא אלוהים. ואולי משום כך המילה שהמסורת שמרה ליחס אל קצה הסולם איננה "ידיעה" אלא אמונה — לא כוויתור על הדעת, אלא כצורה היחידה שבה תעודת הקומה העליונה ניתנת בכלל להתקבל.

וזה מטיל אור חוזר על האינטואיציה שממנה יצאנו. "הכול ניתן להסבר על ידי חוקיות" פירושו: קיים, בעיקרון, ספר שמכסה הכול. אבל ספר שמכסה הכול ואינו יכול לחתום על עצמו איננו מה שהאינטואיציה ביקשה — היא ביקשה חוק שלם, מאושר, אמין, כזה שאפשר לעמוד עליו. ומה שעונה על הדרישה הזאת, הוכחנו, אינו ספר משום סוג. האינטואיציה של החוקיות הטוטלית מעולם לא הצביעה על ספר; היא הצביעה, בלי לדעת, על משהו שמעבר לכל ספר. האמונה שהעולם חוקי עד תומו הייתה, מאז ומעולם, אמונה תיאולוגית בתחפושת.

(הגינות אינטלקטואלית מחייבת לסמן גם את גבולות הטיעון — ארבעה סייגים: היכן הוא תקף, ומה אין הוא מוכיח. הם מרוכזים בנספח ו.)

ח. סיום: החוק שמתקיים דווקא בהסתתרו

יש המבקשים לקרוא בטיעונים ממשפחת גדל הפרכה של תמונת העולם המדעית — הוכחה שהרוח חורגת מן החומר. ראינו שהקריאה הזאת אינה עומדת: המשפטים אינם מכריעים את הדיסיונקציה, וגדל עצמו סירב להכריעה. הגמישות שלנו אמיתית, אבל היא חורגת מכל ספר נתון — לא מן החוק עצמו. אבל הקריאה ההפוכה, המבטלת — "אין כאן אלא קוריוז לוגי" — שגויה לא פחות. יש כאן משפט ממשי על מקומנו: הדטרמיניזם על הרוח מתיישב עם הלוגיקה; דטרמיניזם שקוף — אינו מתיישב. החוק רשאי לחול; מה שאינו רשאי להתקיים הוא החוק המוחזק ביד — מנוסח, מאושר, וממצה, בעת ובעונה אחת.

והאירוניה העמוקה היא שהגמישות אינה מחלישה את אינטואיציית החוקיות אלא משלימה אותה. חוק שכוחו יפה לכסות גם את מנסח־החוקים הוא בדיוק חוק שכוחו יפה להסתתר ממנו: הוא מוכרח לייצר יצורים שחורגים מכל ספר שיוצג להם — ובכך להבטיח שהספר שלו־עצמו לא יוצג לעולם. חוקיות טוטלית, כזו שאין דבר חומק ממנה, מוכרחה למנות בין תולדותיה גם את משפט אי־נראותה־שלה — אחרת הייתה מותירה מחוץ לעצמה לפחות עובדה אחת: את עובדת היחשפותה. האנושות המנסחת את חוקי הכול תגלה, בסוף כל הניסוחים, שהפסוק האחרון — "וזה החוק שלנו, והוא שלם ונכון" — הוא היחיד שהדיו שלו אינו מתייבש לעולם. העין שהוכיחה שאינה יכולה לראות את עצמה — והוכיחה גם את המשפט הזה עצמו — היא העדות הנאמנה ביותר שיש לנו לכך שאנחנו, אולי, בכל זאת עשויים חוק.

ואם עשויים אנחנו חוק — הרי הוא מהסוג שבקצה הסולם: לא ספר שמונח על מדף וממתין שנפתח אותו, אלא דיבור שאיננו יכולים לצטט מפני שאנחנו הציטוט. ההכרזה "אני אמין" פסולה בפי כל ספר, וכשרה בפה אחד בלבד — הפה שאמירתו עושה את הדבר. כל השאר חותמים אצל השכן שקומה מעליהם.

נספח א. הרקע הפורמלי: משפטי אי־השלמות, משפט לב ומשפט טרסקי

נספח זה מנסח במדויק את התוצאות שסעיפים ג ו־ז מציגים במילים. "הספר" של הטקסט הראשי הוא המערכת הפורמלית F שלהלן.

בשנת 1931 הוכיח קורט גדל את שני משפטי אי־השלמות שלו (Gödel 1931). נזקק כאן לניסוח מדויק, כי כל כוחו של הטיעון תלוי בדיוק הזה.

תהי F מערכת פורמלית המקיימת שלושה תנאים: היא עקבית (אינה מוכיחה סתירה); היא ניתנת לאקסיומטיזציה רקורסיבית (קיים אלגוריתם שמזהה מהי אקסיומה ומהי היסק תקין — כלומר, קבוצת המשפטים שלה ניתנת למנייה חישובית); והיא מכילה אריתמטיקה בסיסית (די בפרגמנט זעיר, המערכת Q של רובינסון). אזי:

המשפט הראשון: קיים פסוק G בשפתה של F, כך ש־F אינה מוכיחה את G ואינה מוכיחה את שלילתו. (דיוק: מעקביות לבדה נובע רק ש־G אינו יכיח; כדי לשלול גם את יכיחות השלילה נדרש בניסוחו המקורי של גדל תנאי חזק מעט יותר — ω־עקביות — ורוסר הראה כיצד להסתפק בעקביות בלבד, במחיר החלפת הפסוק בפסוק מחוכם יותר (Rosser 1936). בהמשך אנו נזקקים דווקא לפסוק המקורי של גדל, שכוחו בשקילותו לעקביות.) יתרה מזו — וזו הנקודה שרוב הדיונים הפופולריים מחמיצים — F עצמה מסוגלת להוכיח את הטענה המותנית: "אם אני עקבית, אזי G אינו יכיח בי". כלומר, המערכת יודעת על הכתם העיוור של עצמה; מה שאין ביכולתה הוא לפרוע את התנאי.

המשפט השני: F אינה מוכיחה את עקביותה שלה, Con(F). ולמעשה F מוכיחה את השקילות בין Con(F) לבין G — כך שהוכחה עצמית של עקביות הייתה גוררת את G, בסתירה למשפט הראשון. גרוע מזה: F מוכיחה ש"אם אני מוכיחה את עקביותי, אינני עקבית". תעודת יושר שהמערכת מנפיקה לעצמה היא ראיה נגדה.

מדוע ההכרזה העצמית מפוררת את המערכת? השרשרת בת שלושה צעדים. (א) המשפט הראשון, כשהוא מפורמל בתוך F עצמה, נותן: F מוכיחה את הטענה "אם Con(F), אזי G אינו יכיח בי". (ב) אבל "G אינו יכיח בי" הוא, מילה במילה, תוכנו של G; נמצא ש־F מוכיחה: אם Con(F) אז G. (ג) נניח כעת ש־F מוכיחה את Con(F). אזי F מוכיחה את G. אבל ל־F יש גישה מכנית להוכחותיה שלה: מקיומה של הוכחה ל־G נובע ש־F מוכיחה גם את "G יכיח בי" — שהוא בדיוק שלילת G. נמצא ש־F מוכיחה את G ואת שלילתו: סתירה. ההכרזה "אני עקבית" אינה תיאור של המערכת אלא משפט נוסף בתוכה — והוא בדיוק החוליה החסרה להשלמת סתירה שהמערכת כבר נושאת את מחציתה.

חשוב להדגיש את התפקיד של שלושת התנאים, כי כל אחד מהם חד: אריתמטיקת פרסבורגר (חיבור בלבד) שלמה וכריעה; "האריתמטיקה האמיתית" (קבוצת כל הפסוקים האמיתיים על המספרים הטבעיים) שלמה בהגדרה — אבל אינה ניתנת לאקסיומטיזציה רקורסיבית, ולכן אינה "מערכת" שאפשר לתת למישהו; ומערכת לא־עקבית מוכיחה הכול. משפט גדל הוא אפוא טרילמה: בדיקוּת מכנית, די אריתמטיקה, שלמות — בחרו שתיים.

ועוד דיוק אחד בתנאי השלישי: הפרגמנט הזעיר Q מספיק למשפט הראשון בלבד. הטענות הרפלקסיביות — יכולתה של F להוכיח בעצמה את המשפט הראשון על עצמה, המשפט השני, השרשרת שלעיל ומשפט לב שלהלן — דורשות ש־F תאמת גם שלוש עובדות יסוד על פרדיקט היכיחות של עצמה. שלוש העובדות האלה נקראות תנאי ההוכחיות של הילברט–ברנייס–לב (Hilbert & Bernays 1939; Löb 1955):

התנאי הראשון — המערכת מזהה את הוכחותיה. אם F מוכיחה את P בפועל, אזי F מוכיחה גם את הפסוק "P יכיח בי". הטעם: הוכחה היא עצם סופי, בדיקתה היא חישוב, ומערכת שיודעת חשבון מסוגלת לעקוב אחר החישוב הזה ולאשר אותו. (בצעד (ג) של השרשרת שלעיל השתמשנו בדיוק בזה: משהוכיחה F את G, היא מוכיחה גם "G יכיח בי".)

התנאי השני — המערכת יודעת שהוכחות מצטרפות. F מוכיחה: "אם 'P גורר Q' יכיח בי וגם P יכיח בי, אזי Q יכיח בי". מי שבידו הוכחה לגרירה והוכחה לרישא, בידו הוכחה לסיפא — הדבקה של שתי ההוכחות — והמערכת מסוגלת לאשר גם את עובדת ההדבקה הזאת.

התנאי השלישי — התנאי הראשון, ידוע למערכת עצמה. F מוכיחה: "אם P יכיח בי, אזי 'P יכיח בי' יכיח בי". לא די שהמערכת מזהה את הוכחותיה בפועל; היא גם מוכיחה על עצמה שכך היא. זה העדין מבין השלושה — ההבדל בין לעשות דבר לבין לדעת שאתה עושה אותו.

על ההבדל הזה בדיוק נופלת Q: היא מזהה את הוכחותיה בפועל (התנאי הראשון מתקיים בה כעובדה חיצונית), אבל היא חלשה מכדי להוכיח על עצמה את התנאי השני והשלישי. כל מערכת סבירה מאריתמטיקה אלמנטרית ומעלה מאמתת את שלושתם, ובוודאי אריתמטיקת פיאנו.

ומדוע דווקא שלושת אלה ולא רשימה אחרת? כי מתברר שהם ממצים את הסיפור: משפטו של סולוביי (Solovay 1976) קובע שעבור מערכות כדוגמת אריתמטיקת פיאנו, כל מה שהמערכת מוכיחה אי־פעם על "יכיח בי" של עצמה — ברמת צירופי הפסוקים — נובע משלושת התנאים וממשפט לב, ותו לא. הידע העצמי של הספר, כולו, מתמצה בשלוש שורות ותקרה אחת.

עוד כלי אחד נחוץ לנו: משפטו של לב. מקורו בשאלה שהציב ליאון הנקין בשנת 1952 (Henkin 1952). הפסוק של גדל אומר "אינני יכיח בי", והתברר שהוא אמיתי ואינו יכיח — הוא מקיים את דברו. שאל הנקין: ומה עם תאומו ההפוך, הפסוק שאומר "אני יכיח"? האם הוא יכיח, ואז אמר אמת, או שאינו יכיח, ואז הוא שקר יציב שהמערכת לעולם אינה מפריכה? האינטואיציות התפצלו. מרטין הוגו לב השיב (Löb 1955): הפסוק יכיח. ולא זו בלבד — התשובה נובעת מכלל רחב הרבה יותר: אם F מוכיחה את הטענה "אם P יכיח בי אז P", אזי F כבר מוכיחה את P עצמו. לכל P שהוא.

במילים אחרות: שום מערכת אינה יכולה לבסס אפילו אמון מותנה בעצמה — "מה שאני מוכיחה, אמת" — ביחס לפסוק אחד שטרם הוכרע. אמון מותנה נשמע זול: הוא אינו טוען ש־P אמת, רק ש"אם אוכיח, זה יהיה נכון". והמשפט אומר שהזול הזה אינו קיים: ברגע שהמערכת מחזיקה בו, ה"אם" מתממש מאליו, וההסתייגות קורסת לתוך קביעה. האמון העצמי אינו קשה להשגה; הוא בלתי אפשרי באופן ניתן להוכחה, וההוכחה נעשית בידי אותו כושר שאמינותו עומדת על הפרק.

מדוע? ההוכחה נשענת על פסוק עזר, L, וראוי לעצור ולומר מהו — ובדרך יתבהר גם כיצד נבנה G עצמו. כיצד בכלל יכול פסוק לדבר על היכיחות של עצמו? זו ההמצאה הטכנית שבלב כל הפרק הזה, והיא בנויה משלושה רכיבים. (1) מספור: כל פסוק בשפת F מקבל מספר סידורי — "מספר גדל" — כשם שכל ספר בספרייה מקבל מספר קטלוגי. (2) אריתמטיזציה: התכונה "הפסוק שמספרו n יכיח ב־F" מתבררת כתכונה אריתמטית רגילה של המספר n — טענה על מספרים, בדיוק מהסוג ש־F יודעת לדבר עליו. (3) למת האלכסון: לכל תכונה אריתמטית שאפשר לנסח, קיים פסוק הטוען את התכונה הזאת על מספרו שלו — וניתן להוכיח ב־F שהפסוק והטענה־על־מספרו שקולים. הפסוק אינו אומר "אני"; הוא נוקב במספר, שבמקרה הוא מספרו שלו. אין כאן שום מסתורין — רק חשבון. הפסוק G שפגשנו קודם הוא תוצר הבנייה הזאת עבור התכונה "אינו יכיח"; L הוא תוצר אותה בנייה בדיוק עבור התכונה "אם יכיח — אז P". כלומר: L הוא פסוק חשבוני רגיל, שתוכנו שקול (באופן יכיח ב־F) לטענה "אם L יכיח, אז P". ובמילים יומיומיות: L הוא שטר מותנה שההדק שלו הוא אישורו־שלו — "אם תוכיחו אותי, מגיע לכם P".

ומכאן השרשרת, בשלושה צעדים. (א) צעד של הנהלת חשבונות, שאינו זקוק עדיין לשום אמון: נניח, בתוך F, ש"L יכיח". אם L יכיח, אז תוכנו — "אם L יכיח, אז P" — יכיח; וגם ההנחה עצמה, "L יכיח", ניתנת לאישור (התנאי השלישי). הרי לנו גרירה יכיחה ורישא יכיחה, ולפי התנאי השני הסיפא יכיחה: "P יכיח". סיכום הצעד: אם L יכיח, אז P יכיח. שימו לב שלא קיבלנו את P עצמו — מ"L יכיח" נובע שתוכנו של L יכיח, לא שתוכנו אמת; חשבונאות של הוכחות נשארת תמיד קומה אחת למטה. (ב) כאן, ורק כאן, נכנס האמון: ההנחה "אם P יכיח אז P" משדרגת את המסקנה מ"P יכיח" ל־P עצמו. קיבלנו: אם L יכיח, אז P. (ג) ועכשיו הביטו במה שזה עתה הוכחנו — "אם L יכיח, אז P". זהו, מילה במילה, L עצמו: הוכחנו את L בלי משים. ומשהוכחנו את L בפועל, F מאשרת "L יכיח" (התנאי הראשון) — וזה בדיוק ההדק של השטר שבידינו: P. בלי האמון, הטיעון היה נעצר ב"אם L יכיח, אז P יכיח" — נכון, בלתי מזיק, ואינו מוליך לשום מקום; האמון סיפק את השלב האחרון, והשטר הוכיח את עצמו ואז פרע את עצמו.

שתי מסקנות מן הכלל הזה. האחת: האמון וההוכחה חופפים בדיוק, משני הכיוונים — אך הכיוונים אינם שווים. בכיוון אחד עומד משפט לב: אם F מוכיחה "אם P יכיח אז P", היא מוכיחה את P — זו ההפתעה. הכיוון ההפוך זול: מי שהוכיח את P מחזיק ממילא ב"אם P יכיח אז P", שהרי בידו דבר חזק יותר — P עצמו, בלא שום תנאי. צירוף שני הכיוונים: האמון העצמי אינו קונה למערכת דבר שלא היה בידה ממילא. והשנייה: המשפט השני של גדל הוא המקרה הפרטי P = סתירה. Con(F) שקול לפסוק "אם סתירה יכיחה בי, אזי סתירה" — אמון עצמי ביחס לפסוק האחד שאסור לו להיות יכיח — ולב אומר שאמון כזה זמין רק למערכת שכבר מוכיחה סתירה.

משפט טרסקי (Tarski 1936): קבוצת (מספרי הגדל של) הפסוקים האמיתיים בשפת האריתמטיקה אינה ניתנת להגדרה בשפת האריתמטיקה; באופן כללי, שום שפה עשירה דיה המסוגלת להתייחסות עצמית (בלוגיקה קלאסית) אינה מכילה פרדיקט אמת לעצמה. מכאן ההבחנה שבסעיף ג: את העקביות — "איני מוכיחה סתירה" — המערכת מסוגלת לנסח (זהו פסוק אריתמטי, Con(F)), ורק אסור לה להוכיחו; את הנאותות המלאה — "כל מה שאני מוכיחה אמת" — אין היא מסוגלת אפילו לנסח כפסוק אחד בשפתה, אלא לכל היותר כסכימה של פסוקים, ואת זו חוסם משפט לב. ומכאן גם טענתו של סעיף ז על "הספר של הכול": האריתמטיקה האמיתית שלמה ועקבית, אך על פי טרסקי אינה ניתנת להגדרה בשפתה שלה — כך שתעודת האמינות שלה אינה קיימת כפסוק אריתמטי; היא נכתבת רק בשפה עשירה יותר, כדרך שתורת הקבוצות מוכיחה את נאותותה של אריתמטיקת פיאנו ואינה מוכיחה את נאותות עצמה. כל קומה חותמת לקומה שמתחתיה; אף קומה אינה חותמת לעצמה.

הערה על מוצא לא־קלאסי: סול קריפקי הראה ששפה יכולה להכיל פרדיקט אמת לעצמה, אם מתירים לפסוקים מסוימים להישאר ללא ערך אמת (Kripke 1975). אלא שבבנייה של קריפקי, הכרזה גלובלית מסוג "כל מה שאני אומרת אמת" נותרת, בבנייה המינימלית, לא־מעוגנת לצמיתות: הפסוק קיים בשפה, ואינו זוכה לערך אמת לעולם. שורת החתימה מודפסת — והדיו, פשוטו כמשמעו, אינו מתייבש. המוצא הלא־קלאסי אינו נמלט מן התופעה; הוא מנסח אותה מחדש.

ולעניין משפט גודשטיין שבסעיף ג: כתבו מספר טבעי בכתיב בסיס־n תורשתי (גם המעריכים נכתבים בבסיס n, וכן מעריכי המעריכים, וכן הלאה); החליפו את הבסיס n ב־n+1 והחסירו 1; חזרו על התהליך עם בסיס גדל והולך. משפט גודשטיין (Goodstein 1944) קובע שכל סדרה כזאת מסתיימת באפס. ההוכחה הסטנדרטית מצמידה לכל איבר בסדרה סודר מתחת ל־ε₀ ומראה שסדרת הסודרים יורדת ממש — ולכן, מהיות הסודרים מבוססים־היטב, הסדרה מתאפסת. קירבי ופריס (Kirby & Paris 1982) הוכיחו שהמשפט אינו יכיח באריתמטיקת פיאנו: ההוכחה דורשת אינדוקציה על־סופית עד ε₀ — כוח שמצוי בדיוק מעבר לגבולה. תוצאה ברוח דומה בקומבינטוריקה סופית: משפט פריס–הרינגטון (Paris & Harrington 1977).

מילון ההתאמה ללשון הטקסט הראשי: "הספר אינו סותר את עצמו" — עקביות; "נבדק מכנית" — אקסיומטיזציה רקורסיבית; "יודע חשבון" — הכלת Q; "הכתם העיוור" — הפסוק G; "תעודת היושר" — Con(F); "אמון חלקי ומותנה" — התנאי של לב; "שורת החתימה שאינה ניתנת להדפסה" — משפט טרסקי; "החריגה" של סעיפים ב–ד — המעבר מ־F בצירוף נאותותה אל Con(F); "אמיתות חשבוניות מן השורה" בכתם — משפט גודשטיין ומשפחתו; "קומה מעל" — מערכת המוכיחה את נאותות שכנתה מלמטה, כדרך ש־ZFC מוכיחה את נאותות PA.

נספח ב. גזירת הטרילמה

נספח זה מבסס את טענתו המרכזית של סעיף ד: ששלוש ההנחות אינן מתיישבות יחדיו. "יש חוק" היא (1) להלן, "אפשר למצוא אותו" היא (2), "הוא אמין" היא (3).

נניח שלוש הנחות:

(1) הנחת החוקיות: כושר הביסוס המתמטי שלי זהה למערכת פורמלית F כלשהי (עקבית, רקורסיבית, מכילה אריתמטיקה — בתנאים המדויקים של נספח א).

(2) הנחת הניסוח: אני מסוגל לנסח את F — לכתוב את האקסיומות שלה — ולדעת שהניסוח הזה הוא אכן אני.

(3) הנחת התוקף: אני יודע ש־F נאותה (sound) — שמשפטיה אמיתיים.

משלוש ההנחות נובעת סתירה, בשלושה צעדים: מ־(2) ו־(3) אני רשאי לטעון בביסוס מלא את Con(F) — שהרי אני יודע איזו מערכת אני, ויודע שהיא אינה מוכיחה שקר, ומערכת נאותה היא בפרט עקבית. אבל לפי משפט אי־השלמות השני, F אינה מוכיחה את Con(F). נמצא שביססתי טענה שמחוץ להישג ידה של F — בסתירה ל־(1), האומרת ש־F ממצה את כושרי.

שלוש ההנחות אינן מתיישבות יחדיו. זה המשפט. אבל המשפט אינו אומר איזו מהן שקרית.

נספח ג. הסולם שאינו נסגר, והאישוש האפיסטמי

נספח זה מבסס שתי טענות מן הטקסט הראשי: את "המחסום הנודד" של סעיף ה, ואת האישוש הפורמלי לתזה שהוזכר בסעיף ד.

הסולם. בהינתן F, אפשר לאמץ את Con(F) כאקסיומה חדשה ולעבור ל־F′ = F + Con(F). המעבר הזה מכריע את פסוק גדל הישן: F′ מוכיחה את G של F. (הצעד דורש ש־F תהיה נאותה, לא רק עקבית: מערכת עקבית שמוכיחה את שלילת עקביותה — ויש כאלה — קורסת דווקא מהוספת Con שלה. אם F נאותה, גם F′ נאותה, והמשפטים חלים עליה.) אבל ל־F′ יש פסוק גדל משלה, עקביות משלה — Con(F′) — שאינה יכיחה בה, ומתאר משלה. טיורינג חקר את הפרוגרסיות העל־סופיות של תורות המתקבלות מחזרה על הצעד הזה לאורך סודרים (Turing 1939), ופפרמן פיתח את התורה במלואה (Feferman 1962): הסולם אינו נסגר לעולם, וההכרעה אילו סודרים "מבוססים היטב" — כלומר, לאורך אילו שלבים מותר בכלל לטפס — היא עצמה הכרעה שהמערכת המטפסת אינה יכולה לבסס במלואה. זהו התוכן המדויק של המשפט "המחסום נודד": השיפור העצמי אפשרי, אך הוא משכפל את הכתם במקום למחוק אותו.

האישוש האפיסטמי. ויליאם ריינהרדט הראה, במסגרת של אריתמטיקה אפיסטמית (שפה אריתמטית המועשרת באופרטור ידיעה), שהטענה "אני מכונת טיורינג כלשהי" עקבית עם כל מה שיודע־אידיאלי יכול לדעת, בעוד הטענה "אני יודע איזו מכונת טיורינג אני" (בצירוף ידיעת הנאותות העצמית) ניתנת להפרכה (Reinhardt 1986). טימותי קרלסון השלים את הוכחת העקביות (Carlson 2000). זהו, בלבוש פורמלי, בדיוק ההבדל שסעיף ד עומד עליו: ההנחה הראשונה לבדה — עקבית; צירוף שלוש ההנחות — מופרך.

נספח ד. האנושות כמערכת: הניסוח המדויק

נספח זה מבסס את צעד ההכללה של סעיף ו — מן היחיד אל האנושות.

תהי H קבוצת כל הטענות המתמטיות שהאנושות, לאורך כל עתידה, תבסס באופן מוצדק. השאלה המכרעת: האם H ניתנת למנייה חישובית — כלומר, האם קיים אלגוריתם המונה את איבריה — ובכך מקיימת את תנאי משפטי גדל?

הנחת החוקיות גוזרת שכן: מספר בני האדם בכל רגע סופי; כל הוכחה שנכתבה אי־פעם היא עצם סופי; שרשרת הדורות מתפתחת לפי חוקי הפיזיקה, ופלט של תהליך חישובי הוא קבוצה הניתנת למנייה חישובית. H היא אפוא קבוצת המשפטים של מערכת פורמלית אחת — F_אנושות — המתגלגלת בזמן. ובהנחה שהערימה עקבית — שהאנושות אינה מבססת אי־פעם, באופן מוצדק, סתירה — משפט אי־השלמות השני חל עליה: Con(F_אנושות) אמיתית ואינה בין משפטיה. (בלי הנחת העקביות אין מסקנה — מערכת סותרת "מוכיחה" גם את עקביותה, ללא ערך; אבל מי שמניח שהאנושות מבססת סתירות ויתר ממילא על הרבה יותר מן הטיעון הזה.) זו "האמת שהאנושות לא תבסס לעולם" של הטקסט הראשי.

ולעניין טענת הצמיחה: סדרת הרפלקסיות שהאנושות תבצע — אילו עקרונות עקביות תאמץ, אילו סודרים תזהה כמבוססים־היטב, מתי ואיך — מיוצרת אף היא על ידי אותו תהליך חוקי, ולכן הסגור של כל הטיפוסים האפשריים שלנו כלול ב־F_אנושות מלכתחילה. חריגה מ־F_אנושות דורשת צעד לא־חישובי, וכאן ההתנגדות מתפצלת לשניים. אם הטוען נשאר בתוך הנחת החוקיות, צמיחתו חישובית — כלולה ב־F_אנושות מלכתחילה — וההתנגדות נענתה. ואם הוא מציע צמיחה שאינה פועלת לפי שום חוק, הוא כבר אינו מתנגד לטיעון אלא נוטש את הנחתו: התזה של המאמר תנאית — אם הכול חוקי, החוק לא יוחזק — ומי שמכחיש את הרישא אינו מפריך את התנאי; הוא בוחר בצלע הראשונה של הדיסיונקציה של גדל, "הרוח עולה על כל מכונה".

נספח ה. הסייג ההסתברותי

נספח זה מבסס את הסייג השני של נספח ו.

הטיעון האלכסוני — בגרסתו הלוגית כמו בגרסת המנבא של סעיף ב — נשען על היפוך של פלט מוגדר: לוקחים את מה שהמערכת אומרת ועושים את ההפך. לשם כך על הפלט להיות חד־משמעי. מערכת סטוכסטית אינה מספקת פלט כזה — אי אפשר לעשות את ההפך מהטלת מטבע. ואכן, בספרות קיימים "אורקלים רפלקטיביים" המדגימים חיזוי עצמי עקבי במחיר הסתברותי: הם מתקנים את הנקודה האלכסונית בהגרלה, ונקודת שבת (במקום סתירה) מובטחת משיקולי קומפקטיות (Fallenstein, Taylor & Christiano 2015). מכאן הניסוח הזהיר שבטקסט הראשי: אם חוקיותנו הסתברותית ביסודה, נשללת רק ידיעה עצמית ודאית.

נספח ו. סייגים, כדי שלא נטען יותר מן המוכח

נספח זה מסמן את גבולות הטיעון כולו, שהם ארבעה: היכן הוא תקף, ומה אין הוא מוכיח.

הסייג הראשון — האידיאליזציה. "מה שהאנושות מסוגלת לבסס" אינו מושג חד: הוא מתעלם מזיכרון, מתוחלת חיים, מטעויות, ממותו העתידי של המין (Feferman 2006; Horsten & Welch 2016). הטיעון תקף תחת ההפשטה הזאת בלבד. אלא שהסייג חותך לשני הכיוונים: גם הטענה שהרוח עולה על כל מכונה, וגם הנחת החוקיות עצמה, מנוסחות באותה רמת הפשטה. המלכוד שריר וקיים לכל חידוד שתבחרו.

הסייג השני — האקראיות. החריגה דורשת ספר שמדבר ברור: כדי לעמוד על ספר ולגבור עליו, צריך לדעת מה הוא אומר. חוק שמטיל מטבע חומק מן המנגנון: אי אפשר "לעשות את ההפך" ממה שמטבע יחזה. המחשב מנבא־הכול מסעיף ב, אילו הודיע לי התפלגות של הסתברויות במקום מעשה אחד, היה חסין מפני העקיפה שלי. ואכן, קיימות מערכות תיאורטיות שמדגימות הכרה עצמית עקבית במחיר הסתברותי (נספח ה). אם חוקיותנו הסתברותית ביסודה, המחסום מתעדן: לא כל ידיעה עצמית נשללת, אלא רק ידיעה ודאית; הכרה עצמית הסתברותית נותרת פתוחה.

הסייג השלישי — משמעות המילה "לנסח". הטיעון חל על חוקים שאפשר לכתוב ולבדוק: שקיים נוהל מכני להכריע מה נובע מהם ומה לא. חוק שאינו כזה חומק מן המנגנון — אבל הוא גם אינו "ניסוח" בשום מובן שימושי: אי אפשר למסור אותו, אי אפשר ללמד אותו, אי אפשר לבדוק לפיו הוכחה. מי שמציע שחוקיותנו קיימת אך אינה ניתנת לכתיבה כזאת כבר ויתר על האינטואיציה שביקש להציל, שהרי "הסבר על ידי חוקיות" פירושו, מאז ומעולם, הסבר שאפשר למסור.

הסייג הרביעי — מה קצה הסולם אינו מוכיח. סעיף ז אינו הוכחת קיום. הוא טענת סיווג: אם קיים דבר שסוגר את הסולם, אין הוא ספר. אין בכך שום ראיה שהסולם אכן נסגר — ייתכן שהוא פשוט עולה ועולה, ואין דבר בקצהו. מה שהוכח הוא רק זה: מי שמאמין בחוקיות שלמה ומאושרת מאמין, רצה או לא רצה, במשהו שאיננו ספר.

מקורות